Qu’il s’agisse d’étudier seul·e un sujet qui nous passionne ou de compléter un matériel de cours, consulter des livres peut apporter beaucoup en mathématiques. C’est par exemple l’occasion de se familiariser avec un autre point de vue ou de reccueiller des exercices pour s’entraîner. La littérature en langue étrangère, notamment en anglais, offre souvent d’autres approches très instructives.
Voici ci-dessous une liste des ouvrages que j’ai trouvé particulièrement à mon goût ou avec lesquels j’ai travaillé, et les raisons de mes choix.
Généraliste
Mathématiques, Tout-en-un pour la Licence 1/2/3, J.-P. Ramis, A. Warusfel (dir.). Dunod.
Éléments d’analyse et d’algèbre, P. Colmez.
Algèbre et géométrie
Algèbre linéaire, J. Grifone. Cepaduès.
Algèbre linéaire. Réduction des endomorphismes, R. Mansuy. Vuibert.
Histoires hédonistes de groupes et de géométries. Tome I/II, P. Caldero, J. Germoni. Calvage et Mounet.
Sous-groupes finis et treillis de leurs sous-groupes, A. Debreil. Calvage et Mounet.
Groupes et symétries, Y. Kosmann-Schwarzbach. Éditions de l’École Polytechnique.
Topologie
Introduction to Topological Manifolds, John M. Lee. Springer.
Premier tome d’un triptyque du même auteur autour des variétés – topologiques, différentielles, riemaniennes –, ce texte s’ouvre par une brève introduction historique qui motive l’étude des variétés et donne de nombreux exemples d’applications, puis par trois longs chapitres de rappels de topologie générale, où toutes les notions de bases sont exposées en détail : espaces topologiques, métriques, construction d’espaces par quotient/produit/union/adjonction/action de groupes, connexité et compacité.
L’ouvrage entre ensuite dans le vif du sujet en exposant les CW-complexes dans un chapitre à la lecture quelque peu arride (c’est peut-être inérant à la notion), puis la théorie élémentaire des surfaces compactes avec le théorème de classification et la caractéristique d’Euler. Le chapitre suivant présente l’homotopie et la notion de groupe fondamental, occasion d’une brève incursion dans le language catégorique, avant de l’appliquer au cercle et d’en déduire la théorie du degré. Un rappel de théorie des groupes, particulièrement des présentations et des groupes libres, précède un chapitre traitant en détail du théorème de Seifert-Van Kampen avec une démonstration et l’application au calcul du groupe fondamental des surfaces compactes.
Deux chapitres sont ensuite consacrés aux revêtements, au revêtement universal, et à l’action du groupe fondamental. L’ouvrage se conclut par un chapitre d’ouverture vers la topologie algébrique, qui présente les bases de l’homologie (singulière), son invariance par homotopie, la suite de Meyer-Vitoris et en fait l’application à la théorie du degré sur les sphères, dont on déduit le théorème de la boule chevelue.
Des exercices élémentaires sont proposés au fil du texte et chaque chapitre se conclut par une liste fournie de problèmes non corrigés, qui présente souvent des résultats intéressants et applications fondamentales des notions étudiées. Une très bonne première référence en topologie algébrique des variétés.
Analyse
Measure, Integration & Real Analysis, S. Axler. Springer.
Après une exposition de la théorie de la mesure et de l’intégration motivée par des rappels des limitations de l’intégrale de Riemann et incluant les théorèmes de convergence et de densité classiques, les mesures produits, les théorèmes de Fubini et Tonelli, mais aussi le théorème de différentiation de Lebesgue et l’inégalité de Hardy-Littlewood, le texte propose un premier cours d’analyse fonctionnelle en présentant les principaux résultats concernant les espaces de Banach et l’exemple fondamental des espaces $L^p$. S’en suit un exposé des espaces de Hilbert – orthogonalité, théorème de Riesz, bases orthormales – qui, après un détour par les mesures non-positives ou complexes, se poursuit par un chapitre traitant des propriétés fondamentales des opérateurs entre espaces de Hilbert : adjoints, spectre, opérateurs normaux, unitaires, compacts, jusqu’au théorème spectral.
Les deux derniers chapitre illustrent les notions développées jusqu’à lors, d’une part avec les séries de Fourier sur le cercle et la transformée de Fourier étendue à $L^2$, et d’autre part avec un succint chapitre traitant des mesures de probabilités et énonçant la loi faible des grands nombres, sans entrer dans les détails.
Le propos est direct, clair, motivé par de nombreux exemples et souvent par des figures. Chaque section inclut de nombreux exercices non corrigés de niveau croissant mais tous intéressant. À mon avis, c’est une très bonne référence pour un premier contact avec ces notions au niveau L2/L3.
En plus, le texte est en accès libre sur le site de l’auteur : https://measure.axler.net.
Probabilités
Introduction aux probabilités. Modèles et applications, Q. Berger, F. Caravenna, P. Dai Pra. Dunod.
L’ouvrage offre un exposé très complet de la théorie des probabilités « élémentaires », c’est à dire sans nécessiter la théorie de la mesure.