Premier tome d’un triptyque du même auteur autour des variétés – topologiques, différentielles, riemaniennes –, ce texte s’ouvre par une brève introduction historique qui motive l’étude des variétés et donne de nombreux exemples d’applications, puis par trois longs chapitres de rappels de topologie générale, où toutes les notions de bases sont exposées en détail : espaces topologiques, métriques, construction d’espaces par quotient/produit/union/adjonction/action de groupes, connexité et compacité.
L’ouvrage entre ensuite dans le vif du sujet en exposant les CW-complexes dans un chapitre à la lecture quelque peu arride (c’est peut-être inérant à la notion), puis la théorie élémentaire des surfaces compactes avec le théorème de classification et la caractéristique d’Euler. Le chapitre suivant présente l’homotopie et la notion de groupe fondamental, occasion d’une brève incursion dans le language catégorique, avant de l’appliquer au cercle et d’en déduire la théorie du degré. Un rappel de théorie des groupes, particulièrement des présentations et des groupes libres, précède un chapitre traitant en détail du théorème de Seifert-Van Kampen avec une démonstration et l’application au calcul du groupe fondamental des surfaces compactes.
Deux chapitres sont ensuite consacrés aux revêtements, au revêtement universal, et à l’action du groupe fondamental. L’ouvrage se conclut par un chapitre d’ouverture vers la topologie algébrique, qui présente les bases de l’homologie (singulière), son invariance par homotopie, la suite de Meyer-Vitoris et en fait l’application à la théorie du degré sur les sphères, dont on déduit le théorème de la boule chevelue.
Des exercices élémentaires sont proposés au fil du texte et chaque chapitre se conclut par une liste fournie de problèmes non corrigés, qui présente souvent des résultats intéressants et applications fondamentales des notions étudiées. Une très bonne première référence en topologie algébrique des variétés.