Man nehme an, die Zahl $ e $ genüge der Gleichung $ n $\up{ten} Grades
$$ a+ a_1 e + a_2 e^2 + \dots + a_n e^n = 0 $$
Supposons que le nombre $ e $ satisfasse à une équation de degré $ n $
$$ a+ a_1 e + a_2 e^2 + \dots + a_n e^n = 0 $$
deren Coefficienten $ a $, $ a_1 $, $ \dots $, $ a_n $ ganze rationale Zahlen sind. Wird die linke Seite dieser Gleichung mit dem Integral
$$ \I = \I z^\rho \left( (z-1) \cdots (z - n) \right) ^{\rho + 1} e^{-z} \dz $$
où les coefficients $ a $, $ a_1 $, $ \dots $, $ a_n $ sont des nombres entiers. Lorsqu'on multiplie le membre de gauche par l'intégrale
$$ \I = \I z^\rho \left( (z-1) \cdots (z - n ) \right) ^{\rho + 1} e^{-z} \dz $$
multipliciert, wo $ \rho $ eine ganze positive Zahl bedeutet, so entsteht der Audruck
$$ a \I + a_1 e \I + a_2 e^2 \I + \dots + a_n e^n \I $$
où $ \rho $ est un nombre entier positif, il vient l'expression
$$ a \I + a_1 e \I + a_2 e^2 \I + \dots + a_n e^n \I $$
und dieser Audruck zerlegt sich in die Summe der beiden folgenden Ausdrücke :
\begin{align*}
P_1 & = a \I + & a_1 e \int_1^\infty + \dots + a_n e^n \int_n^\infty \\
P_2 & = & a_1 e \int_0^1 + \dots + a_n e^n \int_0^n.
\end{align*}
et cette expression se décompose en la somme des expressions suivantes :
\begin{align*}
P_1 & = a \I + & a_1 e \int_1^\infty + \dots + a_n e^n \int_n^\infty \\
P_2 & = & a_1 e \int_0^1 + \dots + a_n e^n \int_0^n.
\end{align*}
Die Formel
$$\I z^\rho e^{-z} \dz = \rho ! $$
D'autre part, de la formule
$$\I z^\rho e^{-z} \dz = \rho ! $$
zeigt, dass das Integral $ \I $ eine ganze rationale durch $ \rho ! $ theilbare Zahl ist und ebenso leicht folgt, wenn man bezüglich die Substitutionen $ z = z' + 1 $, $ z = z' + 2 $, $ \dots $, $z = z' + n $ anwendet, dass
$$ e \int_1^\infty, \hspace{1em} e^2 \int_2^\infty, \hspace{1em} \dots, e^n \int_n^\infty $$
il découle que $ \I $ est un nombre entier divisible par $ \rho ! $, et, de même, en effectuant les changements de variable $ z = z' + 1 $, $ z = z' + 2 $, $ \dots $, $z = z' + n $, les quantités
$$ e \int_1^\infty, \hspace{1em} e^2 \int_2^\infty, \hspace{1em} \dots, e^n \int_n^\infty $$
ganze rationale durch $ (\rho + 1)! $ theilbare Zahlen sind. Daher ist auch $ P_1 $ eine durch $ \rho ! $ theilbare ganze Zahl und zwar gilt, wie man sieht, nach dem Modul $ \rho + 1 $ die Congruenz
$$ \tag{1} \frac{P_1}{\rho !} \equiv \pm a (n!)^{\rho + 1} \mod ( \rho + 1 ) $$
sont des nombres entiers divisibles par $ (\rho + 1) ! $. Ainsi $ P_1 $ est un nombre entier divisible par $ \rho ! $ et, comme on le voit, nous avons la congruence modulo $ \rho + 1 $
$$ \tag{1} \frac{P_1}{\rho !} \equiv \pm a (n!)^{\rho + 1} \mod ( \rho + 1 ) $$
Andererseits ist, wenn mit $ K $ bezüglich $ k $ die absolut grössten Werthe bezeichnet werden, welche die Functionen
$$ z(z-1)(z-2)\cdots (z-n) $$
bezüglich
$$ (z-1)(z-2)\cdots (z-n) e^{-z} $$
in dem Intervalle $ z = 0 $ bis $ z = n $ annehmen:
$$ \left| \int_0^1 \right| < k K^\rho, \left| \int_0^2 \right| < 2 k K^\rho, \dots, \left| \int_0^n \right| < nk K^\rho $$
D'autre part, lorsqu'on désigne par $ K $ (respectivement par $ k $) le module maximum des valeurs prises par les fonctions
$$ z(z-1)(z-2)\cdots (z-n) $$
respectivement
$$ (z-1)(z-2)\cdots (z-n) e^{-z} $$
dans l'intervalle de $ z = 0 $ à $ z = n $, on a :
$$ \left| \int_0^1 \right| < k K^\rho, \left| \int_0^2 \right| < 2 k K^\rho, \dots, \left| \int_0^n \right| < nk K^\rho $$
und hieraus folgt, wenn zur Abkürzung
$$ x = (|a_1 e| + 2 |a_2 e^2 + \cdots + n |a_n e^n|) k $$
et il vient, en posant
$$ x = (|a_1 e| + 2 |a_2 e^2 + \cdots + n |a_n e^n|) k, $$
gesetzt wird, die Ungleichung
$$ \tag{2} |P_2| < x K^\rho. $$
l'inégalité
$$ \tag{2} |P_2| < x K^\rho. $$
Nun bestimme man eine ganze positive Zahl $ \rho $, welche *erstens* durch die ganze Zahl $ a . n! $ theilbar ist und für welche *zweitens* $ x \frac{K^\rho}{\rho !} < 1 $ wird.
Prenons maintenant un entier positif $ \rho $ divisible par $ a.n! $ tel que $ x \frac{K^\rho}{\rho !} < 1 $.
Es ist dann $ \frac{P_1}{\rho !} $ infolge der Congruenz (1) eine nicht durch $ \rho + 1 $ theilbare und daher nothwendig von 0 verschiedene ganze Zahl und da überdies $ \frac{P_2}{\rho !} $ infolge der Ungleichung (2) absolut genommen kleiner als 1 wird, so ist die Gleichung
$$ \frac{P_1}{\rho !} + \frac{P_2}{\rho !} = 0 $$
unmöglich.
Il découle de la congruence (1) que $ \frac{P_1}{\rho !} $ est un nombre entier non divisible par $ \rho + 1 $ et par conséquent non-nul ; de plus, il vient d'après l'inégalité (2) que le module de $ \frac{P_2}{\rho !} $ est strictement inférieur à 1. L'équation
$$ \frac{P_1}{\rho !} + \frac{P_2}{\rho !} = 0 $$
ne peut donc être vérifiée.
Man nehme an, es sei $ \pi $ eine algebraische Zahl und zwar genüge die Zahl $ \alpha_1 = i \pi $ einer Gleichung $ n $\up{ten} Grades mit ganzzahlingen Coefficienten. Bezeichnen wir dann mit $ \alpha_2, \dots, \alpha_n $ die übrigen Wurzeln dieser Gleichung, so muss, da $ 1 + e^{i \pi } $ den Werth 0 hat, auch der Ausdruck
\begin{multline*} (1 + e^{\alpha_1})(1 + e^{\alpha_2}) \cdots (1 + e^{\alpha_n}) = 1 + e^{\beta_1} + e^{\beta_2}\\ + \cdots + e^{\beta_N}
\end{multline*}
Supposons maintenant que $ \pi $ soit algébrique. Le nombre $ \alpha_1 = i \pi $ annule alors une équation de degré $ n $ à coefficients entiers. Désignons par $ \alpha_2, \dots, \alpha_n $ les autres racines de cette équation, et remarquons que, puisque $ 1 + e^{i \pi } $ vaut zéro, l'expression
\begin{multline*} (1 + e^{\alpha_1})(1 + e^{\alpha_2}) \cdots (1 + e^{\alpha_n}) = 1 + e^{\beta_1} + e^{\beta_2}\\ + \cdots + e^{\beta_N}
\end{multline*}
den Werth 0 haben und hierin sind, wie man leicht sieht, die $ N $ Exponenten $ \beta_1 $, $ \dots $, $ \beta_N $ die Wurzeln einer Gleichung $ N $\up{ten} Grades mit ganzzahligen Coefficienten.
vaut également zéro. On voit alors aisément que les $ N $ exposants $ \beta_1 $, $ \dots $, $ \beta_N $ sont les racines d'une équation de degré $ N $ à coefficients entiers.
[En effet, les $ \beta_i $ sont toutes les sommes possibles que l'on peut créer en prenant comme termes des $ \alpha_i $. Bien qu'ils ne soient donc pas directement des polynômes symétriques des $ \alpha_i $, ils le sont « dans leur ensemble », si bien que les polynômes symétriques élémentaires des $ \beta_i $ s'écrivent comme polynômes des polynômes symétriques élémentaires des $ \alpha_i $. Il suffit alors de multiplier par une puissance assez grande du coefficient de plus haut degré du polynôme annulateur des $ (\alpha_i) $ pour obtenir le résultat voulu.
Sind überdies etwas die $ M $ Exponenten $ \beta_1 $, $ \dots $, $ \beta_M $ von 0 verschieden, während die übrigen verschwienden, so sind diese $ M $ Exponenten $ \beta_1, \dots, \beta_M $ die Wurzeln einer Gleichung $ M $ \up{ten} Grades von der Gestalt
$$ f(z) = b z^M + b_1 z^{M-1} + \cdots + b_M = 0 $$
On considère en outre les $ M $ exposants $ \beta_1 $, $ \dots $, $ \beta_M $ non-nuls, alors que les autres s'annulent, donc les $ M $ exposants $ \beta_1, \dots, \beta_M $ sont les racines d'une équation de degré $ M $ de la forme
$$ f(z) = b z^M + b_1 z^{M-1} + \cdots + b_M = 0 $$
deren Coefficienten ebenfalls ganze rationale Zahlen sind und in welcher insbesondere der letzte Coefficient $ b_M $ von Null verschieden ist.
dont les coefficients sont des nombres entiers et dans laquelle le dernier coefficient $ b_M $ est non-nul.
Der obige Ausdrick erhält dann die Gestalt
$$ a + e^{\beta_1} + e^{\beta_2} + \cdots + e^{\beta_M} $$
wo $ a $ eine ganze positive Zahl ist.
L'expression mentionnée ci-dessus s'écrit donc sous la forme
$$ a + e^{\beta_1} + e^{\beta_2} + \cdots + e^{\beta_M} $$
où $ a $ est un entier positif.
Man multiplicire diesen Audruck mit dem Integral
$$ \I = \I z_\rho [g(z)]^{\rho + 1} \dz, $$
On multiplie cette expression par l'intégrale
$$ \I = \I z_\rho [g(z)]^{\rho + 1} \dz, $$
wo $ \rho $ wiederum eine ganze positive Zahl bedeutet und wo zur Abkürzung $ g(z) = b^M f(z) $ ist.
où $ \rho $ est à nouveau un nombre entier positif et $ g(z) = b^M f(z) $.
Dann ergiiet sich
$$ a \I + e^{\beta_1} \I + \cdots + e^{\beta_M} \I $$
Cela nous donne
$$ a \I + e^{\beta_1} \I + \cdots + e^{\beta_M} \I $$
und dieser Audruck zerlegt sich in die Summe der beiden folgenden Ausdrücken:
\begin{align*}
P_1 & = a \I + & e^{\beta_1} \int_{\beta_1}^\infty + \cdots + e^{\beta_M} \int_{\beta_M}^\infty, \\
P_2 & = & e^{\beta_1} \int_0^{\beta_1} + \cdots + e^{\beta_M} \int_0^{\beta_m},
\end{align*}
et cette expression peut se décomposer en la somme des deux expressions suivantes
\begin{align*}
P_1 & = a \I + & e^{\beta_1} \int_{\beta_1}^\infty + \cdots + e^{\beta_M} \int_{\beta_M}^\infty, \\
P_2 & = & e^{\beta_1} \int_0^{\beta_1} + \cdots + e^{\beta_M} \int_0^{\beta_m},
\end{align*}
wo allgemein das Integral $ \int_{\beta_i}^\infty $ in der complexen $ z $-Ebene vom Punkte $ z = \beta_i $ längs einer zu Axe der reellen Zahlen parallelen Geraden bis zu $ z = + \infty $ hin und das Integral $ \int_0^{\beta_i} $ vom Punkte $ z = 0 $ längst der geraden Verbindungslinie bis zum Punkte $ z = \beta_i $ hin zu estrecken ist.
où, comme d'usage, l'intégrale $ \int_{\beta_i}^\infty $ dans le plan complexe part du point $ z = \beta_i $ pour s'en éloigner parallèlement à l'axe réel vers $ z = + \infty $ et l'intégrale $ \int_0^{\beta_i} $ s'effectue en ligne droite du point $ z = 0 $ jusqu'au point $ z = \beta_i $.
Das Integral $ \I $ ist wieder gleich einer ganzen rationalen durch $ \rho ! $ theilbaren Zahl und zwar gilt, wie man sieht, nach dem Modul $ \rho + 1 $ die Congruenz
$$ \frac{1}{\rho !} \I \equiv b^{\rho M + M} b_m^{\rho + 1} \mod ( \rho + 1 ) $$
L'intégrale $ \I $ est à nouveau un nombre entier divisible par $ \rho ! $ et, comme on le voit, ceci entraîne la congruence modulo $ \rho + 1 $
$$ \frac{1}{\rho !} \I \equiv b^{\rho M + M} b_m^{\rho + 1} \mod ( \rho + 1 ) $$
Mittelst der Substitution $ z = z' + \beta_i $ und wegen $ g(\beta_i) = 0 $ ergiebt sich ferner
\begin{align*}
e^{\beta_i} \int_{\beta_i}^\infty & = \I (z' + \beta_i)^\rho [g(z' + \beta_i)]^{\rho+1} e^{-z'} \dz' \\
& = (\rho + 1) ! G(\beta_i)
\end{align*}
Grâce au changement de variable $ z = z' + \beta_i $ et puisque $ g(\beta_i) = 0 $, il s'ensuit
\begin{align*}
e^{\beta_i} \int_{\beta_i}^\infty & = \I (z' + \beta_i)^\rho [g(z' + \beta_i)]^{\rho+1} e^{-z'} \dz' \\
& = (\rho + 1) ! G(\beta_i)
\end{align*}
wo $ G(\beta_i) $ eine ganze ganzzahlige Function von $ \beta_i $ bedeutet, deren Grad in $ \beta_i $ unterhalb der Zahl $ \rho M + M $ bleibt und deren Coefficienten sämmtlich durch $ b^{\rho M + M} $ theilbar sind.
où $ G(\beta_i) $ est un polynôme en $ \beta_i $, dont le degré ne dépasse pas $ \rho M + M $ et dont tous les coefficients sont divisibles par $ b^{\rho M + M} $.
Da $ \beta_1, \dots, \beta_M $ die Wurzeln der ganzzahlingen Gleichung $ f(z) = 0 $ sind und mithin durch Multiplication mit dem ersten Coefficienten $ b $ zu *ganzen* algebraischen Zahlen werden, so ist
Comme $ \beta_1, \dots, \beta_m $ sont les racines de l'équation à coefficients entiers $ f(z) = 0 $, ils deviennent par multiplication avec le premier coefficient $ b $ des nombres *entiers*. Ainsi
$$ G(\beta_1) + G(\beta_2) + \cdots + G(\beta_M) $$
nothwendig eine *ganze rationale* Zahl.
$$ G(\beta_1) + G(\beta_2) + \cdots + G(\beta_M) $$
est un nombre *entier*. [En effet, puisque les $ (b \beta_i ) $ sont les racines du polynôme $$ x^M + b_1 x^{M-1}+ b b_2 x^{M-2} + \cdots + b^{M-1} b_M $$ unitaire à coefficients entiers, leurs fonctions symétriques sont toujours à valeurs entières.]
Hieraus folgt, dass der Audruck $ P_1 $ gleich einer ganzen rationalen durch $ \rho ! $ theilbaren Zahl wird und zwar gilt nach dem Modul $ \rho + 1 $ die Congruenz
$$ \tag{3} \frac{P_1}{\rho !} \equiv \pm a b^{\rho M + M} b_M^{\rho + 1} \mod ( \rho + 1 ) $$
Il en découle que $ P_1 $ est un nombre entier divisible par $ \rho ! $, et nous avons donc la congruence modulo $ \rho + 1 $
$$ \tag{3} \frac{P_1}{\rho !} \equiv \pm a b^{\rho M + M} b_M^{\rho + 1} \mod ( \rho + 1 ) $$
Aundererseits ist, wenn mit $ K $ bezüglich $ k $ die grössten absoluten Beträge bezeichnet werden, welche die Functionen $ z g(z) $ bezüglich $ g(z) e^{-z} $ auf den geradlinigen Integrationsstrecken swischen $ z = 0 $ bis $ z = \beta_i $ annehmen :
$$ \left| \int_0^{\beta_i} \right| < |\beta_i| k K^\rho \hspace{2em} (i = 1, 2, \dots, M) $$
D'autre part, lorsqu'on désigne par $ K $ resp. $ k $ le maximum du module des valeurs prises par les fonctions $ z g(z) $ resp. $ g(z) e^{-z} $ sur le segment d'intégration entre $ z = 0 $ et $ z = \beta_i $, on a :
$$ \left| \int_0^{\beta_i} \right| < |\beta_i| k K^\rho \hspace{2em} (i = 1, 2, \dots, M) $$
und hieraus folgt, wenn zur Abkürzung
$$ x = (|\beta_1 e^{\beta_1}| + |\beta_2 e^{\beta_2}| + \cdots + |\beta_M e^{\beta_M}|)k $$
gesetzt wird, die Ungleichung
$$ \tag{4} |P_2| < xK^\rho. $$
et l'on en déduit, en posant
$$ x = (|\beta_1 e^{\beta_1}| + |\beta_2 e^{\beta_2}| + \cdots + |\beta_M e^{\beta_M}|)k $$
l'inégalité suivante
$$ \tag{4} |P_2| < xK^\rho. $$
Nun bestimme man eine ganze positive Zahl $ \rho $, welche *ertens* durch $ abb_M $ theilbar ist und für welche *zweitens* $ x \frac{K^\rho}{\rho!} < 1 $ wird.
À présent, donnons nous en nombre entier $ \rho $ qui soit *à la fois* divisible par $ abb_M $ et tel que $ x \frac{K^\rho}{\rho!} < 1 $.
Es ist dann $ \frac{P_1}{\rho!} $ in Folge der Congruenz (3) eine nicht durch $ \rho + 1 $ theilbare und daher nothwendig von 0 verschiedene ganze Zahl und da überdies $ \frac{P_2}{\rho !} $ in Folge der Ungleichung (4) absolut genommen kleiner als 1 wird, so ist die Gleichung
$$ \frac{P_1}{\rho !} + \frac{P_2}{\rho !} = 0 $$
unmöglich.
Il découle de la congruence (3) que $ \frac{P_1}{\rho !} $ est un nombre entier non divisible par $ \rho + 1 $ et par conséquent non-nul ; de plus, il vient d'après l'inégalité (4) que le module de $ \frac{P_2}{\rho !} $ est strictement inférieur à 1. L'équation
$$ \frac{P_1}{\rho !} + \frac{P_2}{\rho !} = 0 $$
ne peut donc être vérifiée.
Es ist leicht zu erkennen, wie auf dem eingeschlagenen Wege ebenso einfach auch der allgemeinste Lindemann'sche Satz über die Exponentialfunction sich beweisen lässt.
Il est aisé de voir comment la proposition la plus générale de Lindemann à propos de la fonction exponentielle peut se déduire de la même façon.