Après une exposition de la théorie de la mesure et de l’intégration motivée par des rappels des limitations de l’intégrale de Riemann et incluant les théorèmes de convergence et de densité classiques, les mesures produits, les théorèmes de Fubini et Tonelli, mais aussi le théorème de différentiation de Lebesgue et l’inégalité de Hardy-Littlewood, le texte propose un premier cours d’analyse fonctionnelle en présentant les principaux résultats concernant les espaces de Banach et l’exemple fondamental des espaces $L^p$. S’en suit un exposé des espaces de Hilbert – orthogonalité, théorème de Riesz, bases orthormales – qui, après un détour par les mesures non-positives ou complexes, se poursuit par un chapitre traitant des propriétés fondamentales des opérateurs entre espaces de Hilbert : adjoints, spectre, opérateurs normaux, unitaires, compacts, jusqu’au théorème spectral.
Les deux derniers chapitre illustrent les notions développées jusqu’à lors, d’une part avec les séries de Fourier sur le cercle et la transformée de Fourier étendue à $L^2$, et d’autre part avec un succint chapitre traitant des mesures de probabilités et énonçant la loi faible des grands nombres, sans entrer dans les détails.
Le propos est direct, clair, motivé par de nombreux exemples et souvent par des figures. Chaque section inclut de nombreux exercices non corrigés de niveau croissant mais tous intéressant. À mon avis, c’est une très bonne référence pour un premier contact avec ces notions au niveau L2/L3.
En plus, le texte est en accès libre sur le site de l’auteur : https://measure.axler.net.